Question

设f（x）=x²+ax+3-a，x∈[-2，2]，
（1）求f（x）在x∈[-2，2]上的最小值g（a）；
（2）求f（x）在x∈[-2，2]上的最大值h（a）；
（3）x∈[-2，2]时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）讨论对称轴和区间[-2，2]的关系，根据二次函数的单调性及顶点求g（a）即可；
（2）根据（1）求最小值的过程，求最大值h（a）即可；
（3）对于f（x）≥0恒成立，只要让最小值g（a）≥0即可．

解答： 解：（1）f（x）=x2+ax+3-a=(x+

a

2

)2+3-a-

a2

4

；
若-

a

2

≥2，即a≤-4，f（x）在[-2，2]上单调递减，∴g（a）=f（2）=7+a；
若-2＜-

a

2

＜2，即-4＜a＜4，g（a）=f（-

a

2

）=-

a2

4

-a+3；
若-

a

2

≤-2，即a≥4，f（x）在[-2，2]上单调递增，∴g（a）=f（-2）=7-3a；
∴g（a）=

7+a a≤-4 - a2 2 -a+3 -4＜a＜4 7-3a a≥4

；
（2）由（1）求g（a）的过程得：
a≤-4时，h（a）=f（-2）=7-3a；
-4＜a≤0时，h（a）=f（-2）=7-3a；
0＜a＜4时，h（a）=f（2）=7+a；
a≥4时，h（a）=f（2）=7+a；
∴h(a)=

7-3a a≤0 7+a a＞0

；
（3）∵x∈[-2，2]时，f（x）≥0恒成立；
∴只要让f（x）的最小值g（a）≥0即可；
∴a≤-4时，7+a≥0，a≥-7，∴-7≤a≤-4；
-4＜a＜4时，-

a2

2

-a+3≥0，解得-1-

7

≤a≤-1+

7

；
a≥4时，7-3a≥0，a≤

7

3

，这种情况不存在；
∴a的取值范围是[-7，-4]∪[-1-

7

，-1+

7

]．

点评：考查根据二次函数单调性及顶点的情况求二次函数最大值，最小值的方法，对于f（x）≥0恒成立的问题，只要让f（x）_min≥0即可．