Question

3．当0＜x≤$\frac{1}{2}$时，4sin$\frac{π}{3}$x-log_ax＜0恒成立，则a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• B． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）
• C． （1，$\sqrt{2}$）
• D． （$\sqrt{2}$，2）

Answer 1

分析 求出三角函数的值域，利用恒成立，通过对数不等式求解即可．

解答 解：当0＜x≤$\frac{1}{2}$时，4sin$\frac{π}{3}$x-log_ax＜0恒成立，
即0＜x≤$\frac{1}{2}$时，4sin$\frac{π}{3}$x＜log_ax恒成立，$\frac{π}{3}x∈$（0，$\frac{π}{6}$]．4sin$\frac{π}{3}$x∈（0，2]，
不等式恒成立转化为：2＜log_ax，当0＜x≤$\frac{1}{2}$时，恒成立．可得a∈（0，1），
即log_aa²＜log_ax，当0＜x≤$\frac{1}{2}$时，恒成立，
即a²＞x，可得a²＞$\frac{1}{2}$，解得1＞a＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查函数恒成立，转化思想的应用，对数函数的单调性的应用，考查计算能力．