Question

已知函数f（x）=x²+（a+1）x+a²，若f（x）能表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）的和．
（1）求g（x）和h（x）的解析式；
（2）若f（x）和g（x）在区间（-∞，（a+1）²） 上都是减函数，求f（1）的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设f（x）=g（x）+h（x），由于g（x）是奇函数，h（x）是偶函数．可得f（-x）=-g（x）+h（x），即可得出．
（2）利用二次函数和一次函数的单调性可得a的取值范围，再利用二次函数的单调性即可得出f（1）的取值范围．

解答： 解：（1）设f（x）=g（x）+h（x），∵g（x）是奇函数，h（x）是偶函数．
∴f（-x）=g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x），
∴h(x)=

f(x)+f(-x)

2

=x²+a²，
g（x）=

f(x)-f(-x)

2

=（a+1）x．
（2）∵f（x）和g（x）在区间（-∞，（a+1）²） 上都是减函数，
∴(a+1)2≤-

a+1

2

，a+1＜0，
解得-

3

2

≤a＜-1．
f（1）=a²+a+2
=(a+

1

2

)2+

7

4

．
∵f（1）在[-

3

2

，-1)上单调递减，
∴f(-1)＜f(1)≤f(-

3

2

)，
∴2＜f（1）≤

11

4

．

点评：本题考查了函数的奇偶性、二次函数和一次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．