Question

设函数f（x）=

1 a-1 (x-1)，(x≥a) 1 a-2 (x-2)，(x＜a)

．
（1）若a=

3

2

，则f（x）的最小值是

 

；
（2）已知存在t₁，t₂使得f（t₁）=

1

2

，f（t₂）=

3

2

，则t₁-t₂的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）把a=

3

2

代入化简得f（x）=

2(x-1)，x≥ 3 2 -2(x-2)，x＜ 3 2

，由此可知当x＜

3

2

时f（x）=-2（x-2）递减，当x＞

3

2

时f（x）=2（x-1）递增，则fmin(x)=f(

3

2

)=1；

（2）分a＜1时，当a＞2时，当1＜a＜2时三种情况，讨论f（x）在区间（-∞，a）与（a，+∞）的单调性，利用f（t₁）=

1

2

，f（t₂）=

3

2

，得出t₁-t₂的表达式，从而求出取值范围．

解答： 解：（1）若a=

3

2

，则f（x）=

2(x-1)，x≥ 3 2 -2(x-2)，x＜ 3 2

，
当x＜

3

2

时f（x）=-2（x-2）递减，当x＞

3

2

时f（x）=2（x-1）递增，
∴当x=

3

2

时，函数f（x）取最小值，即fmin(x)=f(

3

2

)=1，
故答案为：1
（2）当a＜1时，f（x）在区间（-∞，+∞）上单调减，且f（a）=1，此时有

1 a-1 (t1-1)= 1 2 1 a-2 (t2-2)= 3 2

，
∴t1-t2=

3

2

-a＞

1

2

；
当a＞2时，f（x）在区间（-∞，+∞）上单调递增，此时有

1 a-2 (t1-2)= 1 2 1 a-1 (t2-1)= 3 2

，
∴t1-t2=

3

2

-a＜-

1

2

当1＜a＜2时，f（x）在区间（-∞，a）单调减，（a，+∞）单调增，故f（x）≥f（a）=1，不满足．
综上，a的取值范围为（-∞，-

1

2

）∪（

1

2

，+∞），
故答案为：（-∞，-

1

2

）∪（

1

2

，+∞）．

点评：本题本题考查的知识点是函数单调性的性质，熟练掌握分段函数单调性的特征是解答的关键