题目内容
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PBC；
（Ⅱ）求平面PED与平面PBC所成的二面角（锐角）的余弦值．
考点：直线与平面平行的判定,二面角的平面角及求法
专题：空间位置关系与距离
分析：（Ⅰ）证明：过E作EG∥BC交CD与G，则G为CD的中点，连接FG，因为F为PD的中点，所以FG∥PC，通过面面平行的判定定理和性质可证；
（II）建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，通过平面的法向量的夹角求平面的夹角的余弦值．
（II）建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，通过平面的法向量的夹角求平面的夹角的余弦值．
解答：
（Ⅰ）证明：过E作EG∥BC交CD与G，则G为CD的中点，连接FG，因为F为PD的中点，所以FG∥PC，
所以平面EFG∥平面PBC，
EF?平面EFG，
所以EF∥平面PBC．
（II）解：建立如图所示的空间直角坐标系，
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点．
所以A（0，0，0），B（1，
，0），D（-1，
，0），C（0，2
，0），E（
，
，0），P（0，0，1）
所以
=（-
，-
，1），
=（
，-
，0），
=（1，-
，0），
=（-1，-
，1），
平面PDE的一个法向量为
=（x，y，z），平面PBC的一个法向量为
=（a，b，c）…（6分）
则
，即
，取x=1，则
=（1，
，2）；
即
取b=1，则
=（
，1，2
），
所以
•
=6
，
cos＜
，
＞=
=
=
，
所以平面PED与平面PBC所成的二面角（锐角）的余弦值
．
所以平面EFG∥平面PBC，
EF?平面EFG，
所以EF∥平面PBC．
（II）解：建立如图所示的空间直角坐标系，
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点．
所以A（0，0，0），B（1，
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
所以
| EP |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| DE |
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| CB |
| 3 |
| BP |
| 3 |
平面PDE的一个法向量为
| n |
| m |
则
|
|
| n |
| 3 |
|
|
| m |
| 3 |
| 3 |
所以
| n |
| m |
| 3 |
cos＜
| n |
| m |
| ||||
|
|
6
| ||
8
|
3
| ||
| 8 |
所以平面PED与平面PBC所成的二面角（锐角）的余弦值
3
| ||
| 8 |
点评：本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，适当的建立坐标系，注意向量法的合理运用．
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（2）若α⊥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则n⊥m
（3）若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
其中正确的命题为（ ）
（1）若α∩β=m，n?α，n⊥m，则n⊥β
（2）若α⊥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则n⊥m
（3）若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
其中正确的命题为（ ）
| A、（1）（2） |
| B、（3） |
| C、（2）（3） |
| D、（1）（2）（3） |