Question

15．.假设某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如下的统计资料：

x	2	3	4	5	6
y	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

参考公式：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$
试求：（1）y与x之间的回归方程；
（2）当使用年限为10年时，估计维修费用是多少？

Answer 1

分析 （1）根据所给的数据，做出变量x，y的平均数，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数b，在根据样本中心点一定在线性回归直线上，求出a的值．
（2）根据第一问做出的a，b的值，写出线性回归方程，当自变量为10时，代入线性回归方程，求出维修费用，这是一个预报值．

解答 解：（1）根据题表中数据作散点图，如图所示：

从散点图可以看出，样本点都集中分布在一条直线附近，因此y与x之间具有线性相关关系．利用题中数据得：
$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（2+3+4+5+6）=4，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（2.2+3.8+5.5+6.5+7.0）=5，
$\sum_{i=1}^{n}$x_iy_i=2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7.0=112.3，
$\sum_{i=1}^{5}$${{x}_{i}}^{2}$=2²+3²+4²+5²+6²=90，
所以$\widehat{b}$=$\frac{112.3-5×4×5}{90-5{×4}^{2}}$=1.23，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=0.08，
∴线性回归方程为$\widehat{y}$=1.23x+0.08．
（2）当x=10时，$\widehat{y}$=1.23×10+0.08=12.38（万元），
即当使用10年时，估计维修费用是12.38万元．

点评 本题考查线性回归方程，考查最小二乘法，考查预报值的求法，是一个新课标中出现的新知识点，已经在广东的高考卷中出现过类似的题目．