Question

10．已知二次函数f（x）=x²-2bx+a，满足f（x）=f（2-x），且方程f（x）-$\frac{3}{4}$a=0有两个相等的实根．
（1）求函数f（x）的 解析式．
（2）当x∈[t，t+1]（t＞0）时，求函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出二次函数的对称轴，推出b，利用方程的根，求出a，然后求出函数的解析式．
（2）化简函数的解析式，通过t的范围，求解函数的最小值即可．

解答 解：（1）由f（x）=f（2-x），可知函数的对称轴方程为x=1，
而二次函数f（x）=x²-2bx+a的对称轴是x=b，
所以，对称轴：x=b=1，
由方程f（x）-$\frac{3}{4}$a=0有两个相等的实根，即x²-2bx+$\frac{1}{4}$a=0可得：△=4-4×$\frac{1}{4}$a=0，解得a=4．
∴f（x）=x²-2x+4．   （5分）
（2）f（x）=x²-2x+4=（x-1）²+3．x∈[t，t+1]（t＞0）
①当t＜1＜t+1，即0＜t＜1时，y_min=f（1）=3；
②当t≥1时，y_min=f（t）=t²-2t+4；
综上：函数f（x）的最小值g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{3，0＜t＜1}\\{{t}^{2}-2t+4，t≥1}\end{array}\right.$

点评 本题考查二次函数的简单性质的应用，函数的零点与方程根的关系，函数的最值，考查计算能力．