Question

已知函数f（x）=|x²+4x+3|，关于x的实系数方程f²（x）+bf（x）+c=0恰好有七个实数根，则实数c的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：作出f（x）的图象，利用换元法结合一元二次函数的图象和性质即可．

解答： 解：作出f（x）的图象如图：设t=f（x），
则方程等价为t²+bt+c=0，
由图象可知，
当t=0或t＞1时，方程f（x）=t有两个根，
当t=1时，方程f（x）=t有三个根，
当0＜t＜1时，方程f（x）=t有四个根，
要使方程f²（x）+bf（x）+c=0恰好有七个实数根，
则满足t=1或0＜t＜1，
当t=1时，方程等价为1+b+c=0，
即b=-1-c，
则方程为t²+bt+c=t²+（-1-c）t+c=0，
即（t-1）（t-c）=0，
则t=c，
即0＜c＜1，
故答案为：（0，1）．

点评：本题主要考查函数和方程的应用，利用换元法结合一元二次函数的图象和性质，利用数形结合是解决本题的关键．