Question

19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足：a²+c²=b²+$\sqrt{2}$ac
（ I）求∠B 的大小；
（ II）求$\sqrt{2}$cosA+cosC 的最大值．

Answer 1

分析 （ I）由已知利用余弦定理可求cosB的值，结合范围0＜∠B＜π，即可得解$∠B=\frac{π}{4}$．
（ II）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简可得：$\sqrt{2}cosA+cosC$=$sin（A+\frac{π}{4}）$，利用范围$A+\frac{π}{4}\;∈\;（\frac{π}{4}，π）$，根据正弦函数的性质可求其最大值．

解答 （本题满分为12分）
解：（ I）∵${a^2}+{c^2}={b^2}+\sqrt{2}ac$，
∴${a^2}+{c^2}-{b^2}=\sqrt{2}ac$，
∴$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{{\sqrt{2}ac}}{2ac}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，…（4分）
又0＜∠B＜π，
所以，$∠B=\frac{π}{4}$．…（6分）
（ II）∵A+B+C=π，
∴$A+C=\frac{3}{4}π$，
∴$\sqrt{2}cosA+cosC$=$\sqrt{2}cosA+（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}cosA）+\frac{{\sqrt{2}}}{2}sinA$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}cosA+\frac{{\sqrt{2}}}{2}sinA$=$sin（A+\frac{π}{4}）$，…（8分）
∵$A+C=\frac{3}{4}π$，
∵$A\;∈\;（0，\frac{3}{4}π）$，
∴$A+\frac{π}{4}\;∈\;（\frac{π}{4}，π）$，…（10分）
因此，当$A+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$，即A=$\frac{π}{4}$时，sin（A+$\frac{π}{4}$）最大值为1．
所以，$\sqrt{2}$cosA+cosC 的最大值为1．…（12分）

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．