Question

10．函数f（x）=（${\frac{1}{2}}$）${\;}^{{x^2}-2x}}$的值域为（　　）

• A． （0，+∞）
• B． [2，+∞）
• C． （-∞，2]
• D． （0，2]

Answer 1

分析 由题意：函数f（x）=（${\frac{1}{2}}$）${\;}^{{x^2}-2x}}$是复合函数，令x²-2x=t可得出函数f（x）=$（\frac{1}{2}）^{t}$是减函数，由单调性即可求值域．

解答 解：由题意：函数f（x）=（${\frac{1}{2}}$）${\;}^{{x^2}-2x}}$是复合函数，
令x²-2x=t
则：函数f（x）=$（\frac{1}{2}）^{t}$是减函数，
∵x²-2x=t的值域为[-1，+∞）
∴当t=-1时，
函数f（x）=$（\frac{1}{2}）^{t}$取得最大值为2；
∴函数f（x）=（${\frac{1}{2}}$）${\;}^{{x^2}-2x}}$的值域为（0，2]．
故选D．

点评 本题考查了指数函数的单调性和复合函数的值域的求法．属于中档题．