Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx+cosx，1），$\overrightarrow{b}$=（1，sinxcosx），当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的取值范围为[1，$\sqrt{2}+\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 $\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=sinx+cosx+sinxcosx，令sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）=t，则sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，根据x的范围求出t的范围，于是$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=t+$\frac{{t}^{2}-1}{2}$=$\frac{1}{2}$（t+1）²-1，利用二次函数的单调性求出最值．

解答 解：$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=sinx+cosx+sinxcosx，
令sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）=t，则sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴x$+\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，∴t∈[1，$\sqrt{2}$]，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=sinx+cosx+sinxcosx=t+$\frac{{t}^{2}-1}{2}$=$\frac{1}{2}$（t+1）²-1，
∴当t=1时，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$取得最小值1，当t=$\sqrt{2}$时，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$取得最大值$\sqrt{2}+\frac{1}{2}$．
故答案为[1，$\sqrt{2}+\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，换元法，二次函数的最值，是中档题．