Question

如图，现要在边长为100m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”．以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm（x不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为

1

5

x2m的圆形草地．为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m，绕岛行驶的路宽均小于10m．
（1）求x的取值范围；（运算中

2

取1.4）
（2）若中间草地的造价为a元/m²，四个花坛的造价为

4

33

ax元/m²，其余区域的造价为

12a

11

元/m²，当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（1）根据题目中的不等关系列出关于x的不等式组，求解即可；
（2）建立“环岛”的整体造价y与x的关系，然后利用导数求出y取最小值时x的取值即可．

解答： 解：（1）由题意可知，

x≥9 100-2x≥60 100 2 -2x-2× 1 5 x2≥2×10

，
解得，

x≥9 x≤20 -20≤x≤15

，
又由

100

2

-

1

5

x²≥10，
解可得-14≤x≤14，
即9≤x≤14．
（2）记“环岛”的整体造价为y元．
则由题意得，
y=aπ×(

1

5

x2)2+

4

33

ax×πx2+

12a

11

×(104-π×(

1

5

x2)2-πx2)
=

a

11

[π(-

1

25

x4+

4

3

x3-12x2)+12×104]．
令f(x)=-

1

25

x4+

4

3

x3-12x2，
则f′(x)=-

4

25

x3+4x2-24x
=-4x(

1

25

x2-x+6)．
由f′（x）=0得，
x=10或x=15．

∴当x=10时，y取最小值．
答：当x=10m时，可使“环岛”的整体造价最低．

点评：本题主要考查不等关系列不等式，以及导数在函数最值问题中的应用．属于中档题．