Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a_n+S_n=2n，
（1）求a_n；
（Ⅱ）设b_n=（2-n）（a_n-2），若对任意的正整数n，均有b_n∈（-∞，m），求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据a_n+S_n=2n，令n=1可求a₁，n≥2时得a_n-1+S_n-1=2（n-1），两式相减得a_n=

1

2

a_n-1+1，再构造新的等比数列{a_n-2}，由等比数列的通项公式求通项a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出a_n代入b_n=（2-n）（a_n-2）化简，再化简b_n+1-b_n并判断出符号及对应的n的范围，可得数列{b_n}中项的变化情况，从而求出数列中最大的项，根据条件和恒成立问题，可求出实数m的范围．

解答： 解：（Ⅰ）依题意得，a_n+S_n=2n，
当n=1时，a₁+S₁=2，∴a₁=1，
当n≥2时，a_n+S_n=2n，a_n-1+S_n-1=2（n-1），
两式相减得，2a_n-a_n-1=2，则a_n=

1

2

a_n-1+1，
令a_n+k=

1

2

（a_n-1+k），即a_n=

1

2

a_n-1-

1

2

k，解得k=-2，
所以

an-2

an-1-2

=

1

2

，且a₁-2=-1
所以数列{a_n-2}是以-1为首项，以

1

2

为公比的等比数列，
则a_n-2=（-1）×(

1

2

)n-1=-

1

2n-1

，即a_n=-

1

2n-1

+2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=（2-n）（a_n-2）=（n-2）•

1

2n-1

，
所以b_n+1-b_n=

n-1

2n

-

n-2

2n-1

=

3-n

2n

，
则当n≤3时，b_n+1＞b_n；当n＞4时，b_n+1＜b_n，
所以b₁＜b₂＜b₃=b₄＞b₅＞…＞b_n＞…，
即b_n有最大值b₃=b₄=

1

4

，
因为对任意的正整数n，均有b_n∈（-∞，m），
即b_n＜m对任意的正整数n都成立，所以m＞

1

4

，
故实数m的取值范围是m＞

1

4

．

点评：本题考查了数列a_n与S_n的关系，利用构造法求数列的通项公式，数列的项的变化趋势，以及恒成立问题转化为求数列的最大项问，注意构造法和等价转化思想的合理运用，试题具有一定的综合性．