Question

已知函数f（x）=

ex+x-1(x＜0) - 1 3 x3+2x(x≥0)

，给出如下四个命题：
①f（x）在[

2

，+∞）上是减函数；②f（x）的最大值是2；
③函数f（x）=sint有两个零点；④f（x）≤

4

3

2

在R上恒成立．
其中正确的命题有

 

．（把正确的命题序号都填上）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：求出函数的导函数，得到函数的单调区间及极值点，求出函数的最值，由函数解析式等于0求出函数的零点，再结合sint的值域可得f（x）=sint的零点个数，然后逐一核对四个选项得答案．

解答： 解：∵函数f（x）=

ex+x-1(x＜0) - 1 3 x3+2x(x≥0)

，
当x＜0时，f'（x）=e^x+1＞0，故函数在（-∞，0）上单调递增；
当x＞0时，f'（x）=2-x²，故函数在（0，

2

）上单调递增，在[

2

，+∞）上是减函数；
∴当x=

2

时，函数f（x）的最大值是f（

2

）=

4 2

3

，则f（x）≤

4

3

2

在R上恒成立；
当x≥0时，由-

1

3

x3+2x=0，解得x=0或x=

6

，函数y=f（x）有两个零点分别为0，

6

．
又sint∈[-1，1]，
∴函数f（x）=sint有两个零点．
综上可知，正确的命题有①③④．
故答案为：①③④．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，是中档题．