Question

已知函数f（x）=2^x-

1

2x

，数列{a_n}满足f（log₂a_n）=-2n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明数列{a_n}是递减数列．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的函数特性

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由已知结合f（log₂a_n）=-2n得到数列递推式，整理后求解关于a_n的一元二次方程得答案；
（2）直接利用作商法证明数列是递减数列．

解答： （1）解：∵f（x）=2^x-

1

2x

，f（log₂a_n）=-2n，
∴2log2an-2-log2an=-2n，an-

1

an

=-2n，
∴an2+2nan-1=0，解得an=-n±

n2+1

，
∵a_n＞0，
∴an=

n2+1

-n，n∈N^*；
（2）证明：

an+1

an

=

(n+1)2+1 -(n+1)

n2+1 -n

=

n2+1 +n

(n+1)2+1 +(n+1)

＜1，
∵a_n＞0，
∴a_n+1＜a_n，
∴数列{a_n}是递减数列．

点评：本题考查了数列的函数特性，考查了数列递推式，训练了利用作商法证明数列是递减数列，是中档题．