Question

20．某县一中计划把一块边长为20米的等边三角形ABC的边角地辟为植物新品种实验基地，图中DE需把基地分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．
（1）设AD=x（x≥10），ED=y，试用x表示y的函数关系式；
（2）如果DE是灌溉输水管道的位置，为了节约，则希望它最短，DE的位置应该在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应该在哪里？说明理由．

Answer 1

分析 （1）三角形ADE中的∠A=60°，由余弦定理得y，x，AE三者的关系求出函数的解析式即可；
（2）根据基本不等式的性质求出函数的最小值即可．

解答 解：（1）∵△ABC的边长是20米，D在AB上，则10≤x≤20，
S_△ADE=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$x•AEsin60°=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{4}$•（20）²，
故AE=$\frac{200}{x}$，
在三角形ADE中，由余弦定理得：
y=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4{•10}^{4}}{{x}^{2}}-200}$，（10≤x≤20）；
（2）若DE作为输水管道，则需求y的最小值，
∴y=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4{•10}^{4}}{{x}^{2}}-200}$≥$\sqrt{400-200}$=10$\sqrt{2}$，
当且仅当x²=$\frac{4{•10}^{4}}{{x}^{2}}$即x=10$\sqrt{2}$时“=”成立．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查余弦定理的应用，是一道中档题．