Question

4．以平面直角坐标系的原点为极点，正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，设点A的极坐标为（2，$\frac{π}{6}$），直线l过点A且与极轴成角为$\frac{π}{3}$，圆C的极坐标方程为ρ=$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）写出直线l参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ） 设直线l与曲线圆C交于B、C两点，求|AB|•|AC|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）写出A的直角坐标，通过倾斜角，得到参数方程．
（Ⅱ）化简极坐标方程为直角坐标方程，利用直线参数方程的几何意义，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由题知点A的极坐标为（2，$\frac{π}{6}$），的直角坐标为A（$\sqrt{3}，0$），所以直线L过A点倾斜角为$\frac{π}{3}$的参数方程为
$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t\\ y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t\end{array}\right.$，t为参数．
因为圆C的极坐标方程为ρ=$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$）．所以ρ=cosθ+sinθ，
所以圆C的直角坐标方程为x²+y²-x-y=0．
（Ⅱ）将直线的参数方程代到圆C的直角坐标方程中整理得：
t²+（$\frac{3\sqrt{3}-1}{2}$）t+3-$\sqrt{3}$=0设B，C对应的参数分别为t₁，t₂
∴|AB|•|AC|=|t₁t₂|=$3-\sqrt{3}$．

点评 本题考查参数方程与极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程的几何意义，考查计算能力．