Question

若关于x的二次方程ax²+（2a-3）x+a-2=0的两根为tanα、tanβ．
（1）若a=

5

4

，求tan（α-β）的值；
（2）求tan（α+β）的最小值．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值

分析：（1）当a=

5

4

时，解方程

5

4

x²-

1

2

x-

3

4

=0，可得x=1或x=-

3

5

；从而有

tanα=1 tanβ=- 3 5

或

tanα=- 3 5 tanβ=1

，利用两角差的正切即可求得答案；
（2）依题意，tanα+tanβ=-

2a-3

a

，tanα•tanβ=

a-2

a

，于是tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

3

2

-a≥-

3

4

，从而可得答案．

解答： （13分）
解：（1）当a=

5

4

时，
原方程为

5

4

x²-

1

2

x-

3

4

=0，即5x²-2x-3=0，
解得x=1或x=-

3

5

；
∴

tanα=1 tanβ=- 3 5

或

tanα=- 3 5 tanβ=1

，
∴tan（α-β）=

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

=

1-(- 3 5 )

1- 3 5

=4，或tan（α-β）=

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

=

- 3 5 -1

1- 3 5

=-4．（6分）
（2）方程ax²+（2a-3）x+a-2=0有实根，则

a≠0 △=(2a-3)2-4a(a-2)≥0

，
∴a≤

9

4

且a≠0，
由韦达定理，得
tanα+tanβ=-

2a-3

a

，tanα•tanβ=

a-2

a

，
∴tan（α+β）=

3

2

-a≥-

3

4

，
∴tan（α+β）的最小值为-

3

4

．（13分）

点评：本题考查两角和与差的正切函数，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．