Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=4，＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{2π}{3}$，求|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|和＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$＞的余弦值．

Answer 1

分析 运用向量的数量积的定义，求得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=-4，再由向量的平方即为模的平方，以及斜率的夹角公式，计算即可得到所求值．

解答 解：|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=4，＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{2π}{3}$，可得
$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=2×4×（-$\frac{1}{2}$）=-4，
|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$=$\sqrt{4+16-2×（-4）}$=2$\sqrt{7}$；
$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=4-（-4）=8，
|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2×2$\sqrt{7}$=4$\sqrt{7}$，
可得cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$=$\frac{8}{4\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，以及向量的夹角公式，属于中档题．