Question

18．已知函数$f（x）=-\frac{2}{3}a{x^3}+{x^2}（a＞0）$，x∈R．
（1）当a=1时，求f（x）在点（3，f（3））处的切线方程．
（2）求f（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求出f′（3），f（3）的值，代入直线方程即可；（2）求出f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值和极大值即可．

解答 解：（1）当a=1时，$f（x）=-\frac{2}{3}{x^3}+{x^2}$，f（3）=-9…（2分）
f'（x）=-2x²+2x，k=f'（3）=-2×3²+2×3=-12…（4分）
f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为：y+9=-12（x-3）…（6分）
∴12x-y+27=0…（7分）
（2）由已知有f'（x）=-2ax²+2x（a＞0）令f'（x）=0，
解得x=0或$x=\frac{1}{a}$，…（10分）
列表如下：

x	（-∞，0）	0	$（0，\frac{1}{a}）$	$\frac{1}{a}$	$（\frac{1}{a}，+∞）$
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	0	↗	$\frac{1}{{3{a^2}}}$	↘

…（15分）
x=0时，f（x）取极小值0，
x=$\frac{1}{a}$时，f（x）取极大值$\frac{1}{{3{a^2}}}$…（17分）

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．