Question

14．S_n为正项等比数列{a_n}的前n项和，若S₂是S₄与-5的等差中项，则a₅+a₆的最小值为（　　）

• A． 50
• B． 40
• C． 30
• D． 20

Answer 1

分析 化简可得（a₂+a₁）（q²-1）=5，从而可得q＞1，a₂+a₁=$\frac{5}{{q}^{2}-1}$，从而化简a₅+a₆=$\frac{5}{-（\frac{1}{{q}^{2}}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}}$，从而求最小值．

解答 解：∵S₂是S₄与-5的等差中项，
∴S₄-5=2S₂，
∴a₄+a₃-（a₂+a₁）=5，
∴（a₂+a₁）（q²-1）=5，
∴q＞1，a₂+a₁=$\frac{5}{{q}^{2}-1}$，
故a₅+a₆=（a₂+a₁）q⁴
=$\frac{5}{{q}^{2}-1}$q⁴=$\frac{5}{\frac{1}{{q}^{2}}-\frac{1}{{q}^{4}}}$
=$\frac{5}{-（\frac{1}{{q}^{2}}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}}$，
故当q=$\sqrt{2}$时，有最小值为$\frac{5}{\frac{1}{4}}$=20，
故选：D．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的性质的判断与应用，同时考查了配方法的应用．