Question

4．已知a_n=$\left\{\begin{array}{l}{5n+1，n为奇数}\\{{2}^{\frac{n}{2}}，n为偶数}\end{array}\right.$．
（1）求数列{a_n}的前10项和S₁₀
（2）求数列{a_n}的前2k项和S_2k．

Answer 1

分析 由通项公式可知{a_n}的奇数项组成等差数列，偶数项组成等比数列，分别求出{a_n}的奇数项之和与偶数项之和即可得出答案．

解答 解：（1）∵a_2n-1=5（2n-1）+1=10n-4，
∴{a_n}的奇数项组成一个以a₁=6，以d=10为公差的等差数列，
∴a₁+a₃+a₅+…+a₉=5a₁+$\frac{5×4}{2}d$=130．
∵a_2n=2ⁿ．
{a_n}的偶数项组成一个以a₂=2为首项，以q=2为公比的等比数列，
∴a₂+a₄+a₆+…+a₁₀=$\frac{2（1-{2}^{5}）}{1-2}$=62．
∴S₁₀=（a₁+a₃+a₅+…+a₉）+（a₂+a₄+a₆+…+a₁₀）=192．
（2）a₁+a₃+a₅+…+a_2k-1=ka₁+$\frac{k（k-1）}{2}d$=6k+5k（k-1）=5k²+k．
a₂+a₄+a₆+…+a_2k=$\frac{{a}_{2}（1-{q}^{k}）}{1-q}$=2^k+1-2．
∴S_2k=（a₁+a₃+a₅+…+a_2k-1）+（a₂+a₄+a₆+…+a_2k）=5k²+k+2^k+1-2．

点评 本题考查了等差数列，等比数列的性质，属于中档题．