Question

12．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，且线段PQ的长与函数f（x）的周期相等，则函数f（x）的解析式为f（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{6}$）．

Answer 1

分析 由函数图象可得A，又由题意，可求T，利用周期公式可求ω，由f（$\frac{2}{3}$）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}×$$\frac{2}{3}$+φ）=$\sqrt{3}$，结合范围|φ|＜$\frac{π}{2}$，可求φ的值，即可得解函数解析式．

解答 解：由函数图象可得，A=$\sqrt{3}$，
因为：线段PQ的长与函数f（x）的周期相等，
所以：PQ=$\frac{2\sqrt{3}}{cos30°}$=4，
所以可得：T=$\frac{2π}{ω}$=4，解得：ω=$\frac{π}{2}$，
由于：点（$\frac{2}{3}$，$\sqrt{3}$）在函数图象上，
可得：f（$\frac{2}{3}$）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}×$$\frac{2}{3}$+φ）=$\sqrt{3}$，即：sin（$\frac{π}{3}$+φ）=1，
解得：$\frac{π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得：φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
又因为：|φ|＜$\frac{π}{2}$，
所以，解得：φ=$\frac{π}{6}$．
故答案为：f（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{6}$）．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．