Question

7．给出下列四个命题：
（1）函数f（x）=log_a（2x-1）-1的图象过定点（1，0）；
（2）函数y=log₂x与函数y=2^x互为反函数；
（3）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）=x（x+1），则f（x）的解析式为f（x）=x²-|x|；
（4）若log_a$\frac{1}{2}$＞1，则a的取值范围是（$\frac{1}{2}$，1）或（2，+∞）；
（5）函数y=log_a（5-ax）在区间[-1，3）上单调递减，则a的范围是（1，$\frac{5}{3}$]；
其中所有正确命题的序号是（2）（3）（5）．

Answer 1

分析 根据对数函数的图象和性质，反函数，复合函数，函数的奇偶性，逐一分析5个命题的真假，可得答案．

解答 解：（1）函数f（x）=log_a（2x-1）-1的图象过定点（1，-1），故错误；
（2）函数y=log₂x与函数y=2^x互为反函数，故正确；
（3）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）=x（x+1），
则x＞0时，f（x）=x（x-1），
则f（x）的解析式为f（x）=x²-|x|，故正确；
（4）若log_a$\frac{1}{2}$＞1，则a的取值范围是（$\frac{1}{2}$，1），故错误；
（5）函数y=log_a（5-ax）在区间[-1，3）上单调递减，
则$\left\{\begin{array}{l}a＞1\\ 5-3a≥0\end{array}\right.$，解得：则a的范围是（1，$\frac{5}{3}$]，故正确；
故答案为：（2）（3）（5）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了对数函数的图象和性质，反函数，复合函数，函数的奇偶性，难度中档．