Question

17．现对高二某班全部50名学生测量其身高，测得学生的身高全部在155cm到195cm之间．将测量结果按如下方式分成8组：第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195），如图是按上述分组得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组与第八组的人数相同，第六组、第七组和第八组的人数依次成等差数列．
频率分布直方图：

频率分布表：

分组	频数	频率	频率/组距
…	…	…	…
[180，185）	x	y	z
[185，190）	m	n	p
…	…	…	…

（1）求下列频率分布表中所标字母的值，并补充完成频率分布直方图；
（2）根据频率分布直方图求出平均数，众数，中位数；
（3）若从身高属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名学生，求至少有一名男生来自第六组的概率．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图得前5组的频率和第8组的频率，从而得到第6、7组的频率，进而得到样本中第6、7组的总人数为7人，再由x，m，2成等差数列，能求出结果，并补充完成频率分布直方图．
（2）由频率分布直方图，能求出求出平均数，众数，中位数．
（3）身高属于第六组的学生有4人，身高属于第八组的学生有2人，由此能求出至少有一名男生来自第六组的概率．

解答 解：（1）由频率分布直方图得前5组的频率是：
（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5=0.82，
第8组的频率是0.04，
∴第6、7组的频率是1-0.82-0.04=0.17，
∴样本中第6、7组的总人数为7人，
由已知得：x+m=7，①
∵x，m，2成等差数列，∴x=2m-2，②
由①②得：m=3，x=4，
∴y=0.08，n=0.06，p=0.012．
补充完成频率分布直方图如下图：

（2）由频率分布直方图得：
平均数为：157.5×0.008×5+162.5×0.016×5+167.5×0.04×5+172.5×0.04×5+177.5×0.06×5+182.5×0.016×5+187.5×0.012×5+192.5×0.008×5=174.1．
众数为：$\frac{175+180}{2}$=177.5．
∵前4组的频率为（0.008+0.016+0.04）×5=0.32，
∴中位数为：170+$\frac{0.5-0.32}{0.04×5}×5$=174.5．
（3）身高属于第六组的学生有0.016×5×50=4人，
身高属于第八组的学生有0.008×5×50=2人
从身高属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名学生，
基本事件总数n=${C}_{6}^{2}$=15，
至少有一名男生来自第六组的概率p=1-$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{14}{15}$．

点评 本题考查频率分布直方图的画法，考查平均数，众数，中位数、概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．