Question

15．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（x+1），x∈[0，1）}\\{\frac{1}{2}{x}^{2}-3x+\frac{7}{2}，x∈[1，+∞）}\end{array}\right.$，则关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）的所有根之和为1-2^a．

Answer 1

分析 利用奇函数性质作出函数的图象，依次标出零点，根据对称性得到零点的值满足x₁+x₂，x₄+x₅的值，运用对数求解x₃满足：log₂（x₃+1）=-a，可出x₃，可求解有根之和．

解答 解：∵f（x）为定义在R上的奇函数
∴f（-x）=-f（x），
∵当x≥0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（x+1），x∈[0，1）}\\{\frac{1}{2}{x}^{2}-3x+\frac{7}{2}，x∈[1，+∞）}\end{array}\right.$，
∴当x＜0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}（1-x），（-1＜x＜0）}\\{-\frac{1}{2}{x}^{2}-3x-\frac{7}{2}，（x≤-1）}\end{array}\right.$
作出图象：
∵关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）的根转化为f（x）的图象与y=-a（0＜a＜1）图象的交点问题．
从图象上依次零点为：x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，
根据对称性得到零点的值满足x₁+x₂=-6，x₄+x₅=6，
x₃满足：log${\;}_{\frac{1}{2}}$（1-x₃）=-a，
解得：${x}_{3}=1-{2}^{a}$
故得x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=1-2^a
故答案为：1-2^a．

点评 本题考查了分段函数性质，图象以及应用，考查了函数的零点与函数的交点问题，属于中档题．