Question

16．已知函数f（x）=x-$\frac{lnx}{x}$，g（x）=$\frac{m}{x}$（m∈R），对任意x₃≥e，存在0＜x₁＜x₂＜x₃，使得f（x₁）=f（x₃）=g（x₂），则实数m的取值范围为（　　）

• A． （0，e²-1）
• B． （e²-1，+∞）
• C． （0，e²+1）
• D． （e²+1，+∞）

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，讨论0＜x＜1，x＞1，可得单调性、最值，画出f（x）的图象，由题意可得m＞0，令t=f（x₁）=f（x₃）=g（x₂），可得直线y=t与y=g（x）的图象交点在y=f（x）的图象上方，可得m的范围．

解答 解：函数f（x）=x-$\frac{lnx}{x}$的导数为f′（x）=1-$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-1+lnx}{{x}^{2}}$，
当0＜x＜1时，x²-1＜0，lnx＜0，f′（x）＜0，f（x）递减；
当x＞1时，x²-1＞0，lnx＞0，f′（x）＞0，f（x）递增．
可得f（x）在x=1处取得极小值，且为最小值1．
作出y=f（x）的图象．
由题意可得f（x）在[e，+∞）递增，且f（x）≥f（e）=e-$\frac{1}{e}$．
任意x₃≥e，存在0＜x₁＜x₂＜x₃，使得f（x₁）=f（x₃）=g（x₂），
可得f（x₁）=f（x₃）=g（x₂）≥e-$\frac{1}{e}$．
令t=f（x₁）=f（x₃）=g（x₂），
则m＞0，直线y=t与y=g（x）的图象交点在y=f（x）的图象上方．
即有$\frac{m}{e}$＜e-$\frac{1}{e}$，解答m＜e²-1，
则m的范围是（0，e²-1）．
故选：A．

点评 本题考查任意性和存在性问题的解法，考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，画出图象，通过数形结合的思想方法是解题的关键，属于中档题．