Question

8．如图所示．在△ABC中，已知AB＜BC，点I为其内心，M为边AC上的中点，N为外接圆的弧$\widehat{ABC}$的中点．证明：∠IMA=∠INB．

Answer 1

分析 连接NM并延长，交圆O与点P，连接BP交AC于H，由鸡爪定理可得PA=PI，利用相似三角形的性质可证∠PIM=∠PNI，利用四点共圆可证∠PHM=∠PNB，等角减去等角即可证明∠IMA=∠INB．

解答 证明：连接NM并延长，交圆O与点P，易知N，O，M，P共线，
连接BP交AC于H，易知B，I，H，P共线，
由鸡爪定理，PA=PI，
而PA²=PM•PN，∴PI²=PM•PN，
∴△PIM∽△PNI，∴∠PIM=∠PNI，
又∠HBN=∠HMN=90°，∴B，H，M，N四点共圆，
∴∠PHM=∠PNB，
∴∠IMA=∠INB（等角减去等角）．

点评 本题主要考查了鸡爪定理，相似三角形的性质，四点共圆的性质的应用，考查了转化思想和数形结合思想的运用，属于中档题．