Question

1．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，BC=CD=$\sqrt{7}$，点E为线段AD上的一点．现将△DCE沿线段EC翻折到PEC（点D与点P重合），使得平面PAC⊥平面ABCE，连接PA，PB．
（I）证明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠BAD=60°，且点E为线段AD的中点，求二面角P-AB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结AC，BD交于点O，推导出△ABC≌△ADC，∠DAC=∠BAC，从而AC⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）以O为原点，以直线OA，OB分别为x轴，y轴，平面PAC内过O且垂直于直线AC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-AB-C的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）连结AC，BD交于点O，在四边形ABCD中
∵AB=AD=4，BC=CD=$\sqrt{7}$，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，∴∠DAC=∠BAC，
∴AC⊥BD，
又∵平面PAC⊥平面ABCE，且平面PAC∩平面ABCE=AC，
∴BD⊥平面PAC．
解：（Ⅱ）如图，以O为原点，以直线OA，OB分别为x轴，y轴，
平面PAC内过O且垂直于直线AC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
设P（x，o，z），由题意得A（2$\sqrt{3}$，0，0），B（0，2，0），C（-$\sqrt{3}$，0，0），E（$\sqrt{3}$，-1，0），
∵PE=2，PC=$\sqrt{7}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（x-\sqrt{3}）^{2}+1+{z}^{2}=4}\\{（x+\sqrt{3}）^{2}+{z}^{2}=7}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，z=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，∴P（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0，$\frac{\sqrt{15}}{3}$），
∴$\overrightarrow{AP}$=（-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，0，$\frac{\sqrt{15}}{3}$），$\overrightarrow{AB}$=（-2$\sqrt{3}$，2，0），
设平面PAB的法向量为$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n}=-\frac{5\sqrt{3}}{3}a+\frac{\sqrt{15}}{3}c=0}\\{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}=-2\sqrt{3}a+2b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$），
平面$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角P-AB-C的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴二面角P-AB-C的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，注意向量法的合理运用．