Question

4．已知不等式|x+3|＜2x+1的解集为{x|x＞m}．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）设关于x的方程|x-t|+|x+$\frac{1}{t}$|=m（t≠0）有实数根，求实数t的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论x的范围，去掉绝对值号，得到关于x的不等式组，求出m的值即可；（Ⅱ）根据基本不等式的性质得到关于t的方程，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）由|x+3|＜2x+1得，
$\left\{\begin{array}{l}{x≤-3}\\{-（x+3）＜2x+1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞-3}\\{x+3＜2x+1}\end{array}\right.$，
解得x＞2，
依题意m=2．
（Ⅱ）∵|x-t|+|x+$\frac{1}{t}$|≥|x-t-x-$\frac{1}{t}$|=|t|+$\frac{1}{|t|}$，
当且仅当（x-t）（x+$\frac{1}{t}$）≥0时取等号，
因为关于x的方程|x-t|+|x+$\frac{1}{t}$|=2有实数根，
所以|t|+$\frac{1}{|t|}$≤2，另一方面|t|+$\frac{1}{|t|}$≥2，
所以|=|t|+$\frac{1}{|t|}$=2，
所以t=1或t=-1．

点评 本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等．