Question

5．对于定义在R上的函数f（x），定义同时满足下列三个条件的函数为“Z函数”：
①对任意x∈（-∞，a]，都有f（x）=C₁；
②对任意x∈[b，+∞），都有f（x）=C₂；
③对任意x∈（a，b），都有（f（x）-C₁）（f（x）-C₂）＜0．（其中a＜b，C₁，C₂为常数）
（1）判断函数f₁（x）=|x-1|-|x-3|+1和f₂（x）=x-|x-2|是否为R上的“Z函数”？
（2）已知函数g（x）=|x-2|-$\sqrt{{x^2}+mx+4}$，是否存在实数m，使得g（x）为R上的“Z函数”？若存在，求实数m的值；否则，请说明理由；
（3）设f（x）是（1）中的“Z函数”，令h（x）=|f（x）|，若h（2a²+a）=h（4a），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据“Z函数”的定义，结合分段函数的性质作出图象进行判断即可．
（2）结合“Z函数”的定义以及根式的性质利用配方法进行判断求解．
（3）求出h（x）的解析式以及作出函数h（x）的图象，讨论变量的取值范围解方程即可．

解答 解：（1）f₁（x）=|x-1|-|x-3|+1=$\left\{\begin{array}{l}{-1}&{x≤1}\\{2x-3}&{1＜x＜3}\\{3}&{x≥3}\end{array}\right.$，
作出函数f₁（x）的图象如图：
当x≤1时，f（x）=-1，当x≥3时，f（x）=3，
当1＜x＜3时，-1＜f（x）＜3恒成立，
故f₁（x）=|x-1|-|x-3|+1是R上的“Z函数”，
f₂（x）=x-|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{2}&{x＞2}\\{2x-2}&{x≤2}\end{array}\right.$，
则当x≤2时，函数f（x）不是常数，不满足条件．②，故f₂（x）=x-|x-2|不是R上的“Z函数”．
（2）若g（x）=|x-2|-$\sqrt{{x^2}+mx+4}$是R上的“Z函数”，则满足g（x）=|x-2|-|x+a|的形式，
若$\sqrt{{x^2}+mx+4}$=|x+a|，则平方得mx+4=2ax+a²，即$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{m=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{m=-4}\end{array}\right.$，
当$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{m=-4}\end{array}\right.$时，g（x）=|x-2|-|x-2|=0，不满足条件③，故此时g（x）不是“Z函数”，
当$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{m=4}\end{array}\right.$时，g（x）=|x-2|-|x+2|=$\left\{\begin{array}{l}{4}&{x≤-2}\\{-2x}&{-2＜x＜2}\\{-4}&{x≥2}\end{array}\right.$，满足条件①②③，故此时g（x）是“Z函数”，
故当m=4时，g（x）为R上的“Z函数”．

（3）设f（x）是（1）中的“Z函数”，则f（x）=|x-1|-|x-3|+1=$\left\{\begin{array}{l}{-1}&{x≤1}\\{2x-3}&{1＜x＜3}\\{3}&{x≥3}\end{array}\right.$，
则h（x）=|f（x）|=$\left\{\begin{array}{l}{1}&{x≤1}\\{-2x+3}&{1＜x≤\frac{3}{2}}\\{2x-3}&{\frac{3}{2}＜x＜3}\\{3}&{x≥3}\end{array}\right.$，对应的图象如图：

若h（2a²+a）=h（4a），
则①$\left\{\begin{array}{l}{2{a}^{2}+a≤1}\\{4a≤1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a≤\frac{1}{2}}\\{a≤\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，即-1≤a≤$\frac{1}{4}$时，h（2a²+a）=h（4a）=1，
②$\left\{\begin{array}{l}{2{a}^{2}+a≥3}\\{4a≥3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{a≥1或a≤-\frac{3}{2}}\\{a≥\frac{3}{4}}\end{array}\right.$即a≥1时，h（2a²+a）=h（4a）=3，
③$\left\{\begin{array}{l}{2{a}^{2}+a≤1}\\{4a=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{4a≤1}\\{2{a}^{2}+a=2}\end{array}\right.$，此时h（2a²+a）=h（4a）=1，
即$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a≤\frac{1}{2}}\\{a=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≤\frac{1}{4}}\\{a=\frac{-1±\sqrt{17}}{4}}\end{array}\right.$，即a=$\frac{1}{2}$或a=$\frac{-1-\sqrt{17}}{4}$．
④2a²+a=4a，即2a²=3a，得a=0或a=$\frac{3}{2}$，
综上-1≤a≤$\frac{1}{4}$或a≥1或=$\frac{1}{2}$或a=$\frac{-1-\sqrt{17}}{4}$．

点评 本题主要考查分段函数的应用，结合函数的大小，利用分类讨论以及数形结合的思想进行求解，综合性较强，难度较大．