Question

一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球面面积的

3

16

，设球的半径为R，圆锥底面半径为r．
（1）试确定R与r的关系，并求出较大圆锥与较小圆锥的体积之比；
（2）求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比．

Answer 1

考点：球的体积和表面积,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）设出球的半径，求出球的面积，然后求出圆锥的底面积，求出圆锥的底面半径，即可求出体积较小者的高与体积较大者的高的比值．
（2）由（1）分别求出两个圆锥体积的和及球的体积，可得答案．

解答： 解：（1）不妨设球的半径为：4；
则球的表面积为：64π，圆锥的底面积为：12π，
∴圆锥的底面半径为：2

3

；
由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，球的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形
由此可以求得球心到圆锥底面的距离是

42-(2 3 )2

=2，
所以圆锥体积较小者的高为：4-2=2，
同理可得圆锥体积较大者的高为：4+2=6；
又由这两个圆锥的底面相同，
∴较大圆锥与较小圆锥的体积之比等于它们高之比，即3：1
（2）由（1）可得两个圆锥的体积和为：

1

3

•π•(2

3

)2•8=32π，
球的体积为：

4

3

•π•43=

256

3

π，
故两个圆锥的体积之和与球的体积之比为：32π：

256

3

π=3：8

点评：本题考查的知识点是球的体积和表面积，圆柱的体积和表面积，其中熟练掌握球和圆锥的体积表面积公式，是解答的关键．