Question

【题目】给出集合

(1)若求证:函数

(2)由(1)可知，是周期函数且是奇函数，于是张三同学得出两个命题：

命题甲:集合M中的元素都是周期函数；命题乙:集合M中的元素都是奇函数，请对此给出判断，如果正确，请证明；如果不正确,请举出反例；

(3)设为常数,且求的充要条件并给出证明.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）命题甲正确，命题乙不正确；（3）的充要条件为，，且．证明见解析.

【解析】

（1）转化证明等价于，利用两角和与差的三角函数化简求解即可．（2）命题甲正确．集合中的元素都是周期为6的周期函数，验证即可，命题乙不正确．集合中的元素不都是奇函数，列举反例即可；（3）由函数的周期性，结合正弦公式，化简可得所求的值．

（1）证明：转化证明

，

左边

右边；

（2）命题甲正确．集合中的元素都是周期为6的周期函数．

，可得，

即有，可得，

即，为最小正周期为6的函数；

命题乙不正确．集合中的元素不都是奇函数．

如是奇函数；不是奇函数．

（3）由，可得，

即有，可得，

即，

，可得，

即为，

即为，可得，，且，

可得，，且．

则的充要条件为，，且．