Question

直线y=x+m（m为参数）被椭圆

x2

4

+y²=1截得的弦的长度最大值是（　　）

• A、2
• B、

  4 5

  5

• C、

  4 10

  5

• D、

  8 10

  5

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：将椭圆方程与直线方程联立，消去y得到关于x的方程，得到m的范围；设直线与椭圆的公共点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），表示出|AB|，变形后利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，代入化简，利用二次函数的性质求出|AB|最大值，以及此时m的值，即可确定出此时直线l的方程．

解答： 解：直线y=x+m（m为参数）代入椭圆

x2

4

+y²=1，
消去y得：5x²+8mx+4m²-4=0，
由△=-16m²+80≥0，得-

5

≤m≤

5

，
设直线与椭圆的公共点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则|AB|=

2

|x₁-x₂|=

2

×

(- 8 5 m)2-4× 4m2-4 5

，
∵-

5

≤m≤

5

，
∴当m=0时，|AB|_max=

4 10

5

，此时直线l：y=x．
故选：C．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．