Question

3．对$?x∈（\;0\;，\;\frac{1}{3}\;）$，2^3x≤log_ax+1恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $（\;0\;，\;\frac{2}{3}\;）$
• B． $（\;0\;，\;\frac{1}{2}\;]$
• C． $[\;\frac{1}{3}\;，\;1\;）$
• D． $[\;\frac{1}{2}\;，\;1\;）$

Answer 1

分析 先构造函数f（x）=x²+x，g（x）=-log_ax．h（x）=f（x）+g（x），将问题等价转化为函数h（x）在区间（0，$\frac{1}{3}$）上恒有h（x）≤0，又函数为增函数，故可求答案．

解答 解：构造函数f（x）=2^3x，g（x）=-log_ax-1．
h（x）=f（x）+g（x）．（0＜x＜$\frac{1}{3}$）
易知，在区间（0，$\frac{1}{3}$）上，函数f（x），g（x）均是递增函数，
∴函数h（x）=f（x）+g（x）在区间（0，$\frac{1}{3}$）上是递增函数．
由题设可知，函数h（x）在区间（0，$\frac{1}{3}$）上恒有h（x）≤0．
∴必有h（$\frac{1}{3}$）≤0．
即有2-log_a（$\frac{1}{3}$）-1≤0．
整理就是log_aa=1≤log_a（$\frac{1}{3}$），
∴实数a的取值范围是$\frac{1}{3}$≤a＜1．
故选C．

点评 本题考查指数函数与对数函数的图象，函数恒成立问题，难度中档．