Question

设函数g_n（x）=1+x+

x2

2!

+

x3

3!

+…+

xn

n!

(n∈N*)，p（x）=

ex-gn(x)

x

（e是自然对数的底）
（1）当n=1时，判断函数p（x）有没有零点，并说明理由；
（2）当n=2时，求函数f（x）=

p(x)，x≠0 0，x=0

的最小值；
（3）数列{a_n}的通项为an=(

2

n

)n-1，前n项和为S_n，对任意正整数n，比较g_n（1）与S_n+1的大小，并加以证明．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：（1）求出函数p（x）=

ex-x-1

x

（x≠0），令h（x）=e^x-x-1，x≠0，转化求h（x）的零点问题．
（2）当n=2时，g（x）=1+x+

x2

2

，p（x）=

ex-1-x- x2 2

x

，函数f（x）=

p(x)，x≠0 0，x=0

，
当x≠0时，p（x）=

ex-1-x- x2 2

x

=

ex

x

-

x

2

-

1

x

-1，
求导数，分解因式p′（x）=

xex-ex+1-x2

x2

=

(x-1)•(ex-x-1)

x2

，
利用导数求解单调区间，最值问题，再比较大小，得出最小值．
（3）展开：对任意正整数n，1+（

2

2

）²+（

2

3

）³+（

2

4

）⁴+…+（

2

n+1

）ⁿ≤g_n（1）=1+1+

1

2！

+

1

3！

+…+

1

n！

．
即转化证明：n!≤（

n+1

2

）ⁿ，选择利用均值不等式证明大小．

解答： 解：（1）函数g_n（x）=1+x+

x2

2!

+

x3

3!

+…+

xn

n!

(n∈N*)，p（x）=

ex-gn(x)

x

（e是自然对数的底）
当n=1时，函数g（x）=1+x，函数p（x）=

ex-x-1

x

（x≠0）
令h（x）=e^x-x-1，x≠0，则h′（x）=e^x-1，x≠0，
当x∈（0，+∞）时，h′（x）=e^x-1＞0，
当x∈（-∞，0）时，h′（x）=e^x-1＜0，
所以：h（x）=e^x-x-1，在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
∵h（0）=0，
可判断h（x）=e^x-x-1＞0恒成立，h（x）无零点，
所以当n=1时，判断函数p（x）没有零点，
（2）当n=2时，g（x）=1+x+

x2

2

，p（x）=

ex-1-x- x2 2

x

，
函数f（x）=

p(x)，x≠0 0，x=0

，
当x≠0时，p（x）=

ex-1-x- x2 2

x

=

ex

x

-

x

2

-

1

x

-1，

p′（x）=

xex-ex+1-x2

x2

=

(x-1)•(ex-x-1)

x2

，
y=e^x-x-1，y′=e^x-1
p′（x）=0，x=1，
p′（x）＞0，x＞1，
p′（x）＜0，0＜x＜1，或x＜0，
所以p（x）在（-∞，0）（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
p（1）=e-1-1-

1

2

=e-

5

2

＜0，
p（0）=0
可知：函数f（x）=

p(x)，x≠0 0，x=0

的最小值为：e-

5

2

，
（3）S_n+1≤g_n（1）
即对任意正整数n，1+（

2

2

）²+（

2

3

）³+（

2

4

）⁴+…+（

2

n+1

）ⁿ≤g_n（1）=1+1+

1

2！

+

1

3！

+…+

1

n！

成立．
即要证明对任意正整数n，不等式n!≤（

n+1

2

）ⁿ成立
根据基本不等式：
∵

n•1

≤

n+1

2

，

(n-1).2

≤

n+1

2

，

(n-2)•3

≤

n+1

2

，…，

1•n

≤

n+1

2

将以上n个不等式相乘，得n!≤（

n+1

2

）ⁿ
所以对任意正整数n，不等式n!≤（

n+1

2

）ⁿ都成立．
综上可知，对任意正整数n，不等式1+（

2

2

）²+（

2

3

）³+（

2

4

）⁴+…+（

2

n+1

）ⁿ≤g_n（1）=1+1+

1

2！

+

1

3！

+…+

1

n！

成立
即对任意正整数n，g_n（1）≤S_n+1成立．

点评：本题综合考察了函数，数列，不等式的关系，运用导数，均值不等式，解决问题；考察的问题需要很多数学知识思想方法求解，运算化简能力较强．