Question

11．已知A，B分别为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）在x轴正半轴，y轴正半轴上的顶点，原点O到直线AB的距离为$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$，且|AB|=$\sqrt{7}$．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）直线l：y=kx+m（-1≤k≤2）与圆x²+y²=2相切，并与椭圆C交于M，N两点，求|MN|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意，利用点到直线的距离公式，即可求得a和b的值，利用椭圆的离心率公式，即可求得椭圆C的离心率；
（2）利用点到直线的距离公式，m²=2（k²+1），将直线方程代入椭圆方程，根据韦达定理，弦长公式及二次函数的单调性即可求得|MN|的取值范围．

解答 解：（1）由丨AB丨=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{7}$，$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，
解得：a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1
则椭圆离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）可知：椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3k²+4）x²+6kmx+3m2-12=0，
x₁+x₂=-$\frac{6km}{3{k}^{2}+4}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-12}{3{k}^{2}+4}$，
由直线l与圆x²+y²=2相切，则$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，则m²=2（k²+1），
则丨MN丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{48（{k}^{2}+2）}}{3{k}^{2}+4}$，
=$\frac{4\sqrt{3}\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{{k}^{2}+2}}{3{k}^{2}+4}$，
令3k²+4=t，t∈[4，16]，则丨MN丨=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$•$\frac{\sqrt{{t}^{2}+t-2}}{t}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$•$\sqrt{\frac{9}{8}-2（\frac{1}{t}-\frac{1}{4}）^{2}}$，
由$\frac{1}{16}$≤$\frac{1}{t}$≤$\frac{1}{t}$，
∴f（$\frac{1}{t}$）=$\sqrt{\frac{9}{8}-2（\frac{1}{t}-\frac{1}{4}）^{2}}$，在[$\frac{1}{16}$，$\frac{1}{t}$]单调递增，
则$\frac{3\sqrt{10}}{4}$≤丨MN丨≤$\sqrt{6}$，
∴|MN|的取值范围[$\frac{3\sqrt{10}}{4}$，$\sqrt{6}$]．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，二次函数的单调性，考查椭圆与函数单调性的与最值得应用，考查计算能力，属于中档题．