Question

16．已知四边形ABCD中，AB=2，AD=4，BC=6，CD=2，3$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$+2$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{CD}$=0，则四边形ABCD的面积为5$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由向量式和已知数据可得cosB=-cosD，由余弦定理可得AC²=40-24cosB，AC²=20+16cosB，解方程组可得cosB=$\frac{1}{2}$，进而可得sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由三角形的面积公式可得

解答 解：∵3$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$+2$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{CD}$=0，
∴3|$\overrightarrow{AB}$||•$\overrightarrow{AD}$|cosA+2|$\overrightarrow{CB}$|•|$\overrightarrow{CD}$|cosC=0
又∵AB=2，AD=4，BC=6，CD=2，
∴cosA=-cosC，
∵0＜A＜π，0＜C＜π，∴A+C=π，
∴B+D=π，∴cosB=-cosD，
由余弦定理可得AC²=AB²+BC²-2AB•BCcosB=40-24cosB；
同理可AC²=AD²+CD²-2AD•CDcosD=20+16cosB；
联立以上两式可得cosB=$\frac{1}{2}$，∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴四边形ABCD的面积S=$\frac{1}{2}$AB•BC•sinB+$\frac{1}{2}$AD•CD•sinD=$\frac{1}{2}$×2×6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$×4×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$5\sqrt{3}$，
故答案为：5$\sqrt{3}$

点评 本题考查平面向量的数量积和解三角形，涉及三角形的面积公式余弦定理，属中档题．