Question

已知函数f（x）=x²+2mx+2m+3（m∈R），若关于x的方程f（x）=0有实数根，且两根分别为x₁、x₂，
（1）求（x₁+x₂）•x₁x₂的最大值；
（2）若函数f（x）为偶函数，证明：函数g（x）=

f(x)

x

在[2，3]上的单调性．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由韦达定理可得x₁+x₂=-2m；x₁x₂=2m+3；从而化简(x1+x2)•x1x2=-2m(2m+3)=-4(m+

3

4

)2+

9

4

；再由△≥0解出m的取值范围，从而求最值；
（2）由题意可得m=0；故g(x)=

f(x)

x

=x+

3

x

；从而由定义法证明函数的单调性．

解答： 解：（1）由题意，
x₁+x₂=-2m；x₁x₂=2m+3；
(x1+x2)•x1x2=-2m(2m+3)=-4(m+

3

4

)2+

9

4

；
又∵△=4m²-4（2m+3）≥0；
∴m≤-1或m≥3，
∵t=-4(m+

3

4

)2+

9

4

在m∈（-∞，-1]上单调递增，
m=-1时最大值为2，
t=-4(m+

3

4

)2+

9

4

在m∈[3，+∞）上单调递减，
m=3时最大值为-54，
∴（x₁+x₂）•x₁x₂的最大值为2．
（2）证明：因为函数f（x）为偶函数，所以m=0，
g(x)=

f(x)

x

=x+

3

x

；
任取2≤x₁＜x₂≤3，
则f（x₂）-f（x₁）=x2+

3

x2

-(x1+

3

x1

)
=(x2-x1)

x1x2-3

x1x2

＞0；
故g（x）在[2，3]上递增．

点评：本题考查了二次函数的性质应用及单调性与最值的求法，属于中档题．