Question

抛物线y²=2px（p＞0），其准线方程为x=-1，过准线与x轴的交点M做直线l交抛物线于A、B两点．
（Ⅰ）若点A为MB中点，求直线l的方程；
（Ⅱ）设抛物线的焦点为F，当AF⊥BF时，求△ABF的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）通过抛物线方程求出p，设出直线的方程，与抛物线联立方程组，通过韦达定理结合点A为MB中点，即可求解直线l的方程；
（Ⅱ）利用AF⊥BF，结合向量的数量积，表示出三角形的面积，利用第一问韦达定理，即可求△ABF的面积．

解答： （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）∵抛物线的准线方程为x=-1
∴

p

2

=1，p=2-----------------------（1分）
∴抛物线的方程为y²=4x-----------------------（2分）
显然，直线l与坐标轴不平行
∴设直线l的方程为x=my-1，A(

y 2 1

4

，y1)B(

y 2 2

4

，y2)-----------------------（3分）
联立直线与抛物线的方程

x=my-1 y2=4x

，得y²-4my+4=0-----------------------（4分）
△=16m²-16＞0，解得m＜-1或m＞1-----------------------（5分）
∵点A为MB中点，∴y1=

0+y2

2

，即y₂=2y₁
∴y1y2=2y12=4，解得y1=±

2

-----------------------（6分）
y₁+y₂=4m，∴4m=

2

+2

2

或4m=-

2

-2

2

∴m=±

3

4

2

-----------------------（7分）
直线方程为4x-3

2

y+4=0或4x+3

2

y+4=0．-----------------------（8分）
（Ⅱ）焦点F（1，0），

FA

=(

y 2 1

4

-1，y1)，

FB

=(

y 2 2

4

-1，y2)
∵AF⊥BF

FA • FB = y 2 1 4 • y 2 2 4 - y 2 1 4 - y 2 2 4 +1+y 1y2 = y 2 1 y 2 2 16 - y 2 1 + y 2 2 4 +1+y 1y2 =8- (y1+y2)2 4 =0

∴(y1+y2)2=32-----------------------（11分）

S△ABF=S△MBF-S△AMF= 1 2 |MF|•|y2|- 1 2 |MF|•|y1|  =|y2|-|y1|= (y1+y2)2-4y1y2 =4

-----------------------（13分）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及抛物线方程的求解，考查向量在几何正中定义域，考查学生分析问题解决问题的能力，解决本题的关键是韦达定理的应用．