Question

若函数f（x）为定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）为增函数，则不等式f（lgt）+f（lgt^-1）≥2f（1）的解集为

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：利用函数为偶函数得f（lgt^-1）=f（-lgt）=f（lgt），则不等式f（lgt）+f（lgt^-1）≥2f（1）等价于2f（lgt））≥2f（1），即f（lgt））≥f（1），
然后根据函数单调性的性质解不等式即可．

解答： 解：∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x），且f（|x|）=f（x），
∵f（lgt^-1）=f（-lgt）=f（lgt），
∴不等式f（lgt）+f（lgt^-1）≥2f（1）等价于2f（lgt））≥2f（1），∴f（lgt））≥f（1），
∴f（|lgt|）≥f（1），
∵函数f（x）在[0，+∞）为增函数，
∴|lgt|＞1，
即lgt＞1或lgt＜-1，
解得t＞10或0＜t＜

1

10

，
即不等式的解集为（0，

1

10

）∪（10，+∞）
故答案为：（0，

1

10

）∪（10，+∞）．

点评：本题主要考查函数奇偶性的性质，以及函数单调性的应用，利用函数是偶函数，将不等式进行转化是解决本题的关键．