Question

已知A，B两点分别是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左顶点和上顶点，F是椭圆的右焦点，若

AB

•

BF

＞0，则椭圆的离心率的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：依题意可得，a²+a²+b²＜（a+c）²，而椭圆的离心率e=

c

a

∈（0，1），从而可求得该椭圆的离心率的取值范围．

解答： 解：依题意，|BF|=a，|AF|=a+c，|BA|²=a²+b²，
∵∠FBA为钝角，
∴|BF|²+|BA|²＜|AF|²，
即a²+a²+b²＜（a+c）²，
∴c²+ac-a²＞0，等号两边同除以a²得，e²+e-1=0，
∴e＞

5 -1

2

或e＜

- 5 -1

2

（舍），
又e∈（0，1），
∴

5 -1

2

＜e＜1．
∴该椭圆的离心率的取值范围是（

5 -1

2

，1）．
故答案为：（

5 -1

2

，1）．

点评：本题考查椭圆的简单性质，考查a，b，c之间关系的灵活应用，考查三角形的性质及椭圆的离心率，考查方程思想与运算能力，属于中档题．