Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=

1

4

，a_n+1=S_n+

t

16

（n∈N⁺，t为常数）
（Ⅰ）求t的值；
（Ⅱ）若b_n=log₂a_n+3，C_n=

1

bnbn+1

（n∈N⁺），求数列{C_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用已知条件求出数列的前3项，通过等比数列求出t即可．
（2）利用已知条件表示出b_n=log₂a_n+3，C_n=

1

bnbn+1

，然后利用裂项法求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得a2=S1+

t

16

=

1

4

+

t

16

，
S2=a1+a2=

1

2

+

t

16

，
a3=S2+

t

16

=

1

2

+

t

8

，…（3分）
因为{a_n}为等比数列，所以a22=a1a 3，即(

1

4

+

t

16

)2=

1

4

(

1

2

+

t

8

)，
解得t=±4．…（5分）
当t=-4时，a₂=0（舍）．
当t=4时，a2=

1

2

，此时公比q=

1 2

1 4

=2．所以t=4．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），得a_n=

1

2

×2n-1=2^n-2，b_n=log₂a_n+3=n+1．
∵C_n=

1

bnbn+1

，
所以cn=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，…（10分）
所以Tn=c1+c2+…+cn=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

．…（12分）

点评：本题考查数列的应用，数列求和的方法裂项法的应用，考查计算能力以及转化思想．