Question

已知函数f（x）=2msinxcosx+2

2

cos²x-

2

（m＞0）的最大值为2．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（

A

2

-

π

8

）+f（

B

2

-

π

8

）=4

6

sinAsinB，且C=

π

3

，c=3，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用,余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，由最大值为2求出m的值，确定出f（x）解析式，利用正弦函数的单调性确定出f（x）的单调递增区间即可；
（Ⅱ）由第一问确定的f（x）解析式，化简已知等式，再利用正弦定理化简得到a与b的关系式，再由余弦定理列出关系式，把cosC，c的值代入得到a与b的关系式，联立求出ab的值，再由sinC的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=msin2x+

2

cos2x=

m2+2

sin（2x+α）（其中sinα=

2

m2+2

，cosα=

m

m2+2

），
由f（x）最大值为2，得到m=

2

，即f（x）=2sin（2x+

π

4

），
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，解得：-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ，k∈Z，
则f（x）的单调递增区间为[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]，k∈Z；
（Ⅱ）∵C=

π

3

，c=3，
∴由正弦定理得：2R=

c

sinC

=

3

3 2

=2

3

，即

a

sinA

=

b

sinB

=2R=2

3

，
∴sinA=

a

2 3

，sinB=

b

2 3

，
由f（x）=2sin（2x+

π

4

），得到f（

A

2

-

π

8

）+f（

B

2

-

π

8

）=2sinA+2sinB=4

6

sinAsinB，即sinA+sinB=2

6

sinAsinB，
利用正弦定理化简得：a+b=

2

ab，
由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，即a²+b²-c²=a²+b²-9=（a+b）²-2ab-9=2a²b²-2ab-9=ab，
解得：ab=3，
则S_△ABC=

1

2

absinC=

3 3

4

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．