题目内容
【题目】如图，在P地正西方向16km的A处和正东方向2km的B处各一条正北方向的公路AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F．
（1）若在P处看E，F的视角
，在B处看E测得
，求AE，BF；
（2）为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE和PF，设
，公路PF的毎千米建设成本为a万元，公路PE的毎千米建设成本为8a万元．为节省建设成本，试确定E，F的位置，使公路的总建设成本最小．
【答案】（1）
，
．（2）当AE为4km，且BF为8km时，成本最小．
【解析】
（1）首先由条件可得
，然后分别得到
和
，然后利用
即可求出
（2）首先得出
，然后利用导数求出其单调性即可
（1）在
中，由题意可知
，
，则；
在
中，，
在
中；
因为
，所以
，
于是，
所以
；
所以，．
（2）在
中，由题意可知
，则
；
同理在
中，
，则
；
令，
，
则
，
令
，得
，记
，
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，单调递增；
所以时，取得最小值，
此时
；
所以当AE为4km，且BF为8km时，成本最小．
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