题目内容
【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PPD//平面MAC,PA=PD=,AB=4.
(I)求证:M为PB的中点;
(II)求二面角B-PD-A的大小;
(III)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2)(3)
【解析】试题分析:(Ⅰ)设交点为,连接,因为线面平行,即平面,根据性质定理,可知线线平行,即,再由为的中点,可知为的中点;(Ⅱ)因为平面平面, ,所以取的中点为原点建立空间直角坐标系,根据向量法先求两平面的法向量, ,再根据公式,求二面角的大小;(Ⅲ)根据(Ⅱ)的结论,直接求即可.
试题解析:解:(I)设交点为,连接.
因为平面,平面平面,所以.
因为是正方形,所以为的中点,所以为的中点.
(II)取的中点,连接, .
因为,所以.
又因为平面平面,且平面,所以平面.
因为平面,所以.
因为是正方形,所以.
如图建立空间直角坐标系,则, , ,
, .
设平面的法向量为,则,即.
令,则, .于是.
平面的法向量为,所以.
由题知二面角为锐角,所以它的大小为.
(III)由题意知, , .
设直线与平面所成角为,则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
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