题目内容
【题目】如图1,在直角梯形中,
,
,
,点
是
边的中点,将
沿
折起,使平面
平面
,连接
,
,
,得到如图2所示的几何体.
(1)求证:平面
;
(2)若,且
与平面
所成角的正切值为
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析 (2)
【解析】
(1)证明平面
内的相交直线
,即可证明线面垂直;
(2)根据与平面
所成角的正切值为
,设
,求出
的值,如图所示,建立空间直角坐标系
,求出平面
的法向量
,平面
的法向量
,代入向量的夹角公式,即可得答案.
(1)因为平面平面
,平面
平面
,
又,所以
平面
.
因为平面
,所以
.
又因为折叠前后均有,
,
所以平面
.
(2)由(1)知平面
,所以
与平面
所成角为
且.依题意
.
因为,所以
.
设,则
.
依题意,所以
,即
.
解得,故
,
,
.
如图所示,建立空间直角坐标系,
则,
,
,
,
,
所以,
.
由(1)知平面的法向量
设平面的法向量
由得
,
令,得
,
,所以
.
所以.
由图可知二面角的平面角为锐角,
所以二面角的余弦值为
.

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