题目内容
【题目】在极坐标系中,曲线的极坐标方程为
.现以极点
为原点,极轴为
轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线
的参数方程为
(
为参数).
(1)求曲线的直角坐标系方程和直线
的普通方程;
(2)点在曲线
上,且到直线
的距离为
,求符合条件的
点的直角坐标.
【答案】(1),
;(2)
,
,
,
.
【解析】
(1) 两边同时乘以
,结合
即可求解;对于直线,消除参数即可得普通方程.
(2)由题意求出曲线的参数方程为
,由到直线
的距离为
,可知
,整理后可求出
的值,从而可得答案.
解:(1)由曲线的极坐标方程为
,则
即,得其标准方程为
.
直线参数方程为
(
为参数),则其普通方程为
.
(2)由(1)得曲线为圆心为
,半径为5的圆,曲线
的参数方程为
(为参数),则
,化简为
可得或
.
当时,注意到
,联立方程组得
或
,此时对应的
点坐标为
.
当时,同理可得
或
,即
点坐标为
.
综上,符合条件的点坐标为
.
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