Question

6．2015年7月31日，国际奥委会在吉隆坡正式宣布2022年奥林匹克冬季奥运会（简称冬奥会）在北京和张家口两个城市举办．某中学为了普及奥运会知识，举行了一次奥运知识竞赛．随机抽取了30名学生的成绩，绘成如图所示的茎叶图，若规定成绩在75分以上（包括75分）的学生定义为甲组，成绩在75分以下（不包括75分）定义为乙组．
（1）求甲组学生的平均分；
（2）在这30名学生中，甲组学生中有男生7人，乙组学生中有女生12人，试问有没有90%的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关；
（3）①如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，那么至少有1人在甲组的概率是多少？
②用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取3人，用ξ表示所选3人中甲组的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望．

P（K2＞k0）	0.100	0.050	0.010
K	2.706	3.841	6.635

Answer 1

分析 （1）利用茎叶图能求出甲组学生的平均．
（2）作出勤率×2列联表，由列联表数据代入公式求出K²≈1.83＜2.706，从而得到没有90%的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关．
（3）①用A表示“至少有1 人在甲组”，利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人在甲组的概率．
②由题意知，ξ～B（3，$\frac{2}{5}$），由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（1）甲组学生的平均分：
$\overline{{x}_{甲}}$=$\frac{1}{12}$（75+75+76+76+78+80+81+81+82+84+87+91）=80.5．
（2）作出勤率×2列联表，

	甲组	乙组	合计
男生	7	6	13
女生	5	12	17
合计	12	18	30

由列联表数据代入公式得：
${K}^{2}=\frac{n（ab-bc）^{2}}{（a+b）（a+d）（b+d）}$≈1.83，
∵1.83＜2.706，
∴没有90%的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关．
（3）①用A表示“至少有1 人在甲组”，
则P（A）=1-$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{7}{10}$，
∴至少有1人在甲组的概率是$\frac{7}{10}$．
②由题意知，抽取的30名学生中有12名是甲组学生，
抽取1名学生是甲组学生的概率为$\frac{12}{30}$=$\frac{2}{5}$，
则从所有学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是$\frac{2}{5}$，
又∵所取总体数量较多，
抽取3名学生可以看成3次独立重复试验，于是ξ～B（3，$\frac{2}{5}$），
由题意ξ的可能取值为0，1，2，3，
且P（ξ=k）=${C}_{3}^{k}（\frac{2}{5}）^{k}（1-\frac{2}{5}）^{3-k}$，k=0，1，2，3，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

Eξ=$3×\frac{2}{5}$=$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查茎叶图的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．