Question

设向量

a

=（sinx-1，1），

b

=（sinx+3，1），

c

=（-1，-2），

d

=（k，1），k∈R．
（Ⅰ）若x∈[-

π

2

，

π

2

]，且

a

∥（

b

+

c

），求x的值；
（Ⅱ）若存在x∈R，使得（

a

+

d

）⊥（

b

+

c

），求k的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量的综合题

专题：计算题,函数的性质及应用,三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）运用向量的共线的坐标表示及三角函数的图象和性质，即可解得x；
（Ⅱ）运用向量的垂直的条件，以及参数分离和正弦函数的值域，即可求得k的范围．

解答： 解：（Ⅰ）由于

b

=（sinx+3，1），

c

=（-1，-2），
则

b

+

c

=（sinx+2，-1），

a

=（sinx-1，1），且

a

∥（

b

+

c

），
则有sinx+2=1-sinx，即sinx=-

1

2

，
由于x∈[-

π

2

，

π

2

]，则x=-

π

6

；
（Ⅱ）若存在x∈R，使得（

a

+

d

）⊥（

b

+

c

），
则有（sinx-1+k）（sinx+2）-2=0，
即有k=

2

2+sinx

+1-sinx，令2+sinx=t（1≤t≤3）
则k=

2

t

-t+3，k′=-

2

t2

-1＜0，则k在[1，3]上递减，
则有

2

3

≤k≤4，
故k的取值范围是[

2

3

，4]．

点评：本题考查平面向量的共线的坐标表示，向量垂直的坐标表示，考查三角函数的求值及正弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题．